home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter5.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  9.3 KB  |  333 lines
  1. à 5.3èReal Roots- Fourth Order, Lïear, Constant Coefficient
  2.     èè Differential Equation
  3. äèFïd ê general solution
  4.  
  5. â        y»»»» - 36y»» = 0
  6.     The characteristic equation
  7.         mÅ - 36mì = 0
  8.     Facërs ïëè mì(m - 6)(m + 6) = 0
  9.     The solutions areèm = 0, 0, -6, 6
  10.     The general solution is
  11.         C¬ + C½x +èC¼eúæ╣ + C«eæ╣
  12.  
  13. éS    è The LINEAR, HOMOGENEOUS, CONSTANT COEFFICIENT, FOURTH ORDER
  14.     DIFFERENTIAL EQUATION can be written ï ê form
  15.         Ay»»»» + By»»» + Cy»» + Dy» + Ey = 0
  16.     where A, B, C, D å E are constants.
  17.     è As with ê correspondïg SECOND ORDER differential 
  18.     equations, an assumption is made that ê form ç ê solutions
  19.     is
  20.             y = e¡╣
  21.     Differentiatïg å substitutïg yields
  22.         (AmÅ + BmÄ + Cmì + Dm + E)e¡╣ = 0
  23.     As e¡╣ is never zero, it can be cancelled yieldïg ê
  24.     CHARACTERISTIC EQUATION
  25.         AmÅ + BmÄ + Cmì + Dm + E = 0
  26.  
  27.     èèQUARTIC EQUATIONS with real coefficients fall ïë one ç 
  28.     three categories :
  29.         a)    ALL roots are REAL (possibly repeated)
  30.         b)    TWO reals (possibly repeated) å a COMPLEX 
  31.             CONJUGATE PAIR
  32.         c)    TWO pairs ç COMPLEX CONJUGATES (possibly
  33.             repeated)
  34.  
  35.         This section will cover ê case ç all real roots 
  36.     å Section 5.4 will cover ê cases where êre are complex
  37.     roots.
  38.  
  39.     èèIf all FOURS ROOTS are REAL, êre are FOUR subcases
  40.         a)    4 distïct roots, say l, m, n, g
  41.             The general solution is
  42.             C¬e╚╣ + C½e¡╣ + C¼eⁿ╣ + C½e╩╣
  43.  
  44.         b)    2 repeated roots, say m, m å two oêr 
  45.             disticnt roots, say n, l.èThe general solution is
  46.             C¬e¡x + C½xe¡╣ + C¼eⁿ╣ + C«e╚╣
  47.  
  48.         c)    3 repeated roots, say m, m, m å one oêr 
  49.             root, say n
  50.             The general solution is
  51.             C¬e¡x + C½xe¡╣ + C¼xìe¡╣ + C«eⁿ╣
  52.  
  53.         d)    4 repeated roots, say m, m, m, m.èThe general
  54.             solution is
  55.             C¬e¡x + C½xe¡╣ + C¼xìe¡╣ + C«xÄe¡╣
  56.  
  57.         As with ê second order, non-homogeneous differential
  58.     equation, solvïg a fourth order, NON-HOMOGENEOUS differential
  59.     equation is done ï two parts.
  60.  
  61.     1)    Solve ê HOMOGENEOUS differential equation for a 
  62.     GENERAL SOLUTION with FOUR ARBITRARY CONSTANTS
  63.  
  64.     2)    Fïd ANY PARTICULAR SOLUTION ç ê NON-HOMOGENEOUS 
  65.     differential equation.èAs disucssed ï CHAPTER 5, êre are 
  66.     two maï techniques for fïdïg a particular solution.
  67.  
  68.         A)    METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS 
  69.         This technique is used when ê non-homogeneous 
  70.         term is
  71.             1)è A polynomial
  72.             2)è A real exponential
  73.             3)è A sïe or cosïe times a real exponential
  74.             4)è A lïear combïation ç ê above.    
  75.         This technique is explaïed ï à 4.3 å can be
  76.         for ANY ORDER differential equation.
  77.  
  78.         B)    METHOD OF VARIATION OF PARAMETERS
  79.         This technique is valid for an ARBITRARY NON-HOMOGEN-
  80.         EOUS TERM.èIt does require ê ability ë evaluate
  81.         N ïtegrals for an Nth order differential equaën.
  82.         As ê order ç ê differential equation ïcreses,
  83.         ê ïtegrals become messier ï general.èThe second
  84.         order version is discussed ï à 4.4.
  85.  
  86.  1èè    y»»»» + 6y»»» + 11y»» + 6y» = 0
  87.  
  88.     A)è     C¬ + C½e╣ + C¼eì╣ + C«eÄ╣        
  89.     B)    C¬ + C½e╣ + C¼eì╣ + C«eúÄ╣
  90.     C)è     C¬ + C½e╣ + C¼eúì╣ + C«eúÄ╣
  91.     D)è     C¬ + C½eú╣ + C¼eúì╣ + C«eúÄ╣
  92. ü    èèFor ê differential equation
  93.         y»»»» + 6y»»» + 11y»» + 6y» = 0
  94.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  95.         mÅ + 6mÄ + 11mì + 6m = 0
  96.     This facërs ïë
  97.         m(m + 1)(m + 2)(m + 3) = 0
  98.     This has ê solutions
  99.         m = 0, -1, -2, -3
  100.     Thus ê general solution is
  101.         C¬ + C½eú╣ + C¼eúì╣ + C«eúÄ╣
  102.  
  103. ÇèD
  104.  
  105.  2    y»»»» - 15y»» + 10y» + 24y = 0
  106.  
  107.     A)è     C¬e╣ + C½ì╣ + C¼eÄ╣ + C«eÅ╣    
  108.     B)    C¬eú╣ + C½úì╣ + C¼eÄ╣ + C«eÅ╣
  109.     C)    C¬e╣ + C½ì╣ + C¼eúÄ╣ + C«eúÅ╣    
  110.     D)    C¬eú╣ + C½ì╣ + C¼eÄ╣ + C«eúÅ╣
  111. ü    èèFor ê differential equation
  112.         y»»»» - 15y»» + 10y» + 24y = 0
  113.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  114.         mÅ - 15mì + 10m + 24 = 0
  115.     This facërs ïë
  116.         (m + 1)(m - 2)(m - 3)(m + 4) = 0
  117.     This has ê solutions
  118.         m = -1, 2, 3, -4
  119.     Thus ê general solution is
  120.         C¬eú╣ + C½eì╣ + C¼eÄ╣ + C«eúÅ╣
  121.  
  122. ÇèD
  123.  
  124. è3    y»»»» - 13y»» + 36y = 0
  125.  
  126.     A)è     C¬eì╣ + C½xeì╣ + C¼eÄ╣ + C«xeÄ╣    
  127.     B)    C¬eúì╣ + C½eì╣ + C¼eúÄ╣ + C«eÄ╣
  128.     C)    C¬e╣ + C½xe╣ + C¼eÅ╣ + C«eö╣
  129.     D)    C¬e╣ + C½xe╣ + C¼eæ╣ + C«xeæ╣
  130. ü    èèFor ê differential equation
  131.         y»»»» - 13y»» + 36y = 0
  132.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  133.         mÅ - 13mìè+ 36 = 0
  134.     This facërs ïë
  135.         (mì - 4)(mì - 9) = 0
  136.     These each facër ïë
  137.         (m - 2)(m + 2)(m - 3)(m + 3) = 0
  138.     This has ê solutions
  139.         m =è-2, 2, -3, 3
  140.     Thus ê general solution is
  141.         C¬eúì╣ + C½eì╣ + C¼eúÄ╣ + C«eÄ╣
  142.  
  143. ÇèB
  144.  
  145.  4    y»»»» + 8y»»» + 23y»» + 32y» + 12y = 0
  146.  
  147.     A)è     C¬eú╣ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣ + C«eúÅ╣    è     
  148.     B)    C¬eú╣ + C½xeú╣ + C¼eúì╣ + C«eúÄ╣
  149.     C)    C¬eú╣ + C½eúì╣ + C¼xeúì╣ + C«eúÄ╣
  150.     D)    C¬eú╣ + C½eúì╣ + C¼eúÄ╣ + C«xeúÄ╣
  151. ü    èèFor ê differential equation
  152.         y»»»» + 8y»»» + 23y»» + 32y» + 12y = 0
  153.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  154.         mÅ + 8mÄ + 23mì + 32m + 12è= 0
  155.     This facërs ïë
  156.         (mì + 4m + 4)(mì + 4m + 3) = 0
  157.     å furêr ë
  158.         (m + 2)(m + 2)(m + 1)(m + 3)
  159.     This has ê solutions
  160.         m = -1, -2, -2, -3
  161.     Thus ê general solution is
  162.         C¬eú╣ + C½eúì╣ + C¼xeúì╣ + C«eúÄ╣
  163.  
  164. ÇèC
  165.  
  166. S 5    y»»»» - y»» = 0
  167.  
  168.     A)    C¬ + C½x + C¼xì + C«e╣    
  169.     B)    C¬ + C½x + C¼eú╣ + C«e╣
  170.     C)    C¬ + C½eú╣ + C¼xeú╣ + C«e╣
  171.     D)    C¬ + C½eú╣ + C¼e╣ + C«xe╣
  172. ü    èèFor ê differential equation
  173.         y»»»» - y»» = 0
  174.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  175.         mÅ - mì = 0
  176.     This facërs ïë
  177.         mì(mì - 1) = 0
  178.     This furêr facërs ë
  179.         mì(m - 1)(m + 1) = 0
  180.     This has ê solutions
  181.         m =è0, 0,-1, 1
  182.     Thus ê general solution is
  183.         C¬ + C½x + C¼eú╣ + C«e╣
  184.  
  185. ÇèB
  186.  
  187.  6    y»»»» - 6y»»» + 12y»» - 8y» = 0
  188.  
  189.     A)    C¬ + C½x + C¼xì + C«eì╣
  190.     B)    C¬ + C½x + C¼eì╣ + C«xeì╣
  191.     C)    C¬ + C½eì╣ + C¼xeì╣ + C«xìeì╣
  192.     D)    C¬eì╣ + C½xeì╣ + C¼xìeì╣ + C«xÄeì╣
  193. ü    èèFor ê differential equation
  194.         y»»»» - 6y»»» + 12y»» - 8y» = 0
  195.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  196.         mÅ - 6mÄ + 12mì - 8m = 0
  197.     This facërs ïë
  198.         m(m - 2)(m - 2)(m - 2) = 0
  199.     or
  200.         m(m - 2)Ä = 0
  201.     This has ê solutions
  202.         m =è0, 2, 2, 2
  203.     Thus ê general solution is
  204.         C¬ + C½eì╣ + C¼xeì╣ + C«xìeì╣
  205.  
  206. ÇèC
  207.  
  208.  7    y»»»» + 4y»»» + 6y»» + 4y» + y = 0
  209.     
  210.     A)    C¬ + C½x + C¼xì + C«eú╣
  211.     B)    C¬ + C½x + C¼eú╣ + C«xeú╣
  212.     C)    C¬ + C½eú╣ + C¼xeú╣ + C«xìeú╣
  213.     D)    C¬eú╣ + C½xeú╣ + C¼xìeú╣ + C«xÄeú╣
  214. ü    èèFor ê differential equation
  215.         y»»»» + 4y»»» + 6y»» + 4y» + y = 0
  216.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  217.         mÅ + 4mÄ + 6mì + 4m + 1 = 0
  218.     This facërs ïë
  219.         (mì + 2m + 1)(mì + 2m + 1) = 0
  220.     or
  221.         (m + 1)Å = 0
  222.     This has ê solutions
  223.         m =è-1, -1, -1, -1
  224.     Thus ê general solution is
  225.         C¬eú╣ + C½xeú╣ + C¼xìeú╣ + C«xÄeú╣
  226.  
  227. ÇèD
  228.  
  229. äè Solve ê ïitial value problem
  230.  
  231. â    è For ê Initial Value Problem, 
  232.         y»»»» - 4y»» + 5y = 0 
  233.         y(0) = 0, y»(0) = -11, y»»(0) = -3èy»»»(0) = -53
  234.     The general solution isè C¬eú╣ + C½e╣ + C¼eúì╣ + C«eì╣
  235.     Differentiatïg å substitutïg 0 for x produces a system ç
  236.     four equations ï ê four constants.èSolvïg this system 
  237.     gives ê solutionèè y = -eú╣ + 2e╣ + 3eì╣ - 4eúì╣
  238.  
  239. éSèèAs ê GENERAL SOLUTON ç a FOURTH ORDER differential 
  240.     equation has FOUR ARBITRARY CONSTANTS, for an Initial Value
  241.     Problem ë completely specify which member ç this four
  242.     parameter family ç curves requires four INITAL VALUES.    
  243.     è The ståard ïitial values problem for a fourth order,
  244.     lïear, constant coefficient differential equation is
  245.         Ay»»»» + By»»» + Cy»» + Dy» + Ey = g(x)
  246.         èèèy(x╠) =èèy╠
  247.         èè y»(x╠) =è y»╠
  248.         èèy»»(x╠) =èy»»╠
  249.         è y»»»(x╙) = y»»»╙
  250.     èèAs with ê second order, ïital value problem, solvïg 
  251.     this problem is a 2 step process
  252.  
  253.     1)èèSolve ê differential equation ë produce a general
  254.     solution with four arbitrary constants.
  255.  
  256.     2)èèCalculate ê first, second å third derivatives ç 
  257.     ê general solution.èThen substitue ê ïital value ç ê 
  258.     ïdependent variable, x╠ , ïë ê general solution å its first two
  259.     derivatives.èThis will produce a system ç 4 equations ï
  260.     ê four arbitrary constants.èSolvïg this system gives ê
  261.     values ç ê four constants which gives ê specific 
  262.     solution ç ê ïitial value problem.
  263.     
  264.  8è     y»»»» - 4y»» = 0 
  265.         y(0) = 10èy»(0) = 9èy»»(0) = 4èy»»»(0) = 24
  266.  
  267.     A)    6 + 3x + eúì╣ + 2eì╣
  268.     B)    6 + 3x + eúì╣ - 2eì╣
  269.     C)    6 + 3x - eúì╣ + 2eì╣
  270.     D)    6 - 3x + eúì╣ + 2eì╣
  271. ü    èèFor ê differential equation
  272.         y»»»» - 4y»» = 0 
  273.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  274.         mÅ - 4mì = 0
  275.     This facërs ïë
  276.         mì(m - 2)(m + 2) = 0
  277.     This has ê solutions
  278.         m =è0, 0, -2, 2
  279.     Thus ê general solution is
  280.         èy = C¬ + C½x + C¼eúì╣ + C«eì╣
  281.     Differentiatïg
  282.          y» = C½ - 2C¼eúì╣ + 2C«eì╣
  283.         y»» =èèè4C¼eúì╣ + 4C«eì╣
  284.     èèè y»»» =èè -8C¼eúì╣ + 8C«eì╣
  285.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  286.         èy(0) =è10 = C¬ +èC½ +èC¼ +èC«
  287.          y»(0) =è 9 =èèè C½ - 2C¼ + 2C«
  288.         y»»(0) =è 4 =èèèèèè4C¼ + 4C«
  289.     èèè y»»»(0) =è24 =èèèèè- 8C¼ + 8C«
  290.     Sovlïg this system ç equations yields
  291.         C¬ = 6è C½ = 3èC¼ = -1èC« = 2
  292.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  293.         y = 6 + 3x - eúì╣ + 2eì╣
  294. ÇèC
  295.  
  296.  9    y»»»» - 6y»»» + 11y»» - 6y» = 0
  297.         y(0) = 2èy»(0) = -2èy»»(0) = -4èy»»»(0) = -14
  298.     A)    4 + 3e╣ + 2eì╣ + eÄ╣
  299.     B)    4 + 3e╣ + 2eì╣ - eÄ╣
  300.     C)    4 + 3e╣ - 2eì╣ - eÄ╣
  301.     D)    4 - 3e╣ + 2eì╣ - eÄ╣
  302. ü    èèFor ê differential equation
  303.         y»»»» - 6y»»» + 11y»» - 6y» = 0
  304.     ê CHARACTERISTIC EQUATION is
  305.         mÅ - 6mÄ + 11mì - 6m = 0
  306.     This facërs ïë
  307.         m(m - 1)(m - 2)(m - 3) = 0
  308.     This has ê solutions
  309.         m =è0, 1, 2, 3
  310.     Thus ê general solution is
  311.         èy = C¬ + C½e╣ + C¼eì╣ + C«eÄ╣
  312.     Differentiatïg
  313.          y» = C½e╣ + 2C¼eì╣ +è3C«eÄ╣
  314.         y»» = C½e╣ + 4C¼eì╣ +è9C«eÄ╣
  315.     èèè y»»» = C½e╣ + 8C¼eì╣ + 27C«eÄ╣
  316.     Substitutïg ê ïital value ç ê dependent variable 0
  317.         èy(0) =è 2 = C¬ +èC½ +èC¼ +èC«
  318.          y»(0) =è-2 =èèè C½ + 2C¼ + 3C«
  319.         y»»(0) =è-4 =èèè C½ + 4C¼ + 9C«
  320.     èèè y»»»(0) = -14 =èèè C½ + 8C¼ + 27C«
  321.     Sovlïg this system ç equations yields
  322.         C¬ = 4è C½ = -3èC¼ = 2èC« = -1
  323.     Thus ê solution ç ê ïitial value problem is
  324.         y =è4 - 3e╣ + 2eì╣ - eÄ╣
  325. ÇèD
  326.  
  327.  
  328.  
  329.  
  330.  
  331.  
  332.  
  333.